Как разброс результатов затрагивает геометрический рост

После того как мы признали тот факт, что, хотим мы того или нет,  количество для торговли определяется по уровню баланса на счете, можно рассматривать HPR, а не денежные суммы. Таким образом, мы придадим управлению деньгами определенность и точность.

Мы сможем проверить наши стратегии управления деньгами, составить правила и сделать определенные выводы. Посмотрим, как связаны геометрический рост и разброс результатов (HPR).

В этой дискуссии мы для простоты будем использовать пример азартной игры. Рассмотрим две системы: систему A, которая выигрывает 10% времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 28 : 1, и систему B, которая выигрывает 70% времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 1,9 : 1. Наше математическое ожидание на единицу ставки для A равно 1,9, а для B равно 0,4.

Поэтому мы можем сказать, что для каждой единицы ставки система A выиграет в среднем в 4,75 раза больше, чем система B. Но давайте рассмотрим торговлю фиксированной долей. Мы можем найти оптимальные f, разделив математическое ожидание на отношение выигрыш/проигрыш. Это даст нам оптимальное f = 0,0678 для A и 0,4 для B. Средние геометрические для каждой системы при соответствующих значениях оптимальных f составят:

A = 1,044176755,

B = 1,0857629.

Как видите, система B, несмотря на то что ее математическое ожидание примерно в четыре раза меньше, чем у системы A, приносит почти в два раза больше за ставку (доходность 8,57629% за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f), чем система A (которая приносит 4,4176755% за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f ).

Система	% выигрышей	Выигрыш / проигрыш	МО	f	Среднее геометрическое
A	10	28 : 1	1,9	0,0678	1,0441768
B	70	1,9 : 1	0,4	0,4	1,0857629

Проигрыш 50% по балансу потребует 100% прибыли для возмещения; 1,044177 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 16,5, т. е. для возмещения 50% проигрыша для системы A потребуется более 16 сделок. Сравним с системой B, где 1,0857629 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 9, т. е. для системы B потребуется 9 сделок для возмещения 50% проигрыша.

В чем здесь дело? Не потому ли все это происходит, что система B имеет процент выигрышных сделок выше? Истинная причина, по которой B функционирует лучше A, кроется в разбросе результатов и его влиянии на функцию роста. Большинство трейдеров ошибочно считают, что функция роста TWR задается следующим образом:

TWR = (1 + R ) ^ N,  (1.17)

где R — процентная ставка за период (например, 7% = 0,07); N — количество периодов.

Так как 1 + R то же, что и HPR, ошибочно полагают, что функция роста TWR равна:

TWR = HPR ^ N.  (1.18)

Эта функция верна только тогда, когда прибыль (т. е. HPR) постоянна, чего в торговле не бывает.

Реальная функция роста в торговле (или любой другой среде, где HPR не является постоянной) — это произведение всех HPR. Допустим, мы торгуем кофе, наше оптимальное f составляет 1 контракт на каждую 21 000 долл. на балансе счета и прошло 2 сделки, одна из которых принесла убыток 210 долл., а другая — выигрыш 210 долл. В этом примере HPR равны 0,99 и 1,01 соответственно. Таким образом, TWR равно:

TWR = 1,01 * 0,99 = 0,9999.

Дополнительную информацию можно получить, используя оценочное среднее геометрическое (EGM):

EGM = (AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2), или EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2).

Теперь возведем уравнение (1.16, а) или (1.16, б) в степень N, чтобы рассчитать TWR. Оно будет близко к «мультипликативной» функции роста, действительному TWR:

или

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2)) ^ N,      (1.19, а)

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2)) ^ N,                   (1.19, б)

где N — количество периодов;

AHPR — среднее арифметическое HPR;

SD — стандартное отклонение значений HPR; V — дисперсия значений HPR.

Оба уравнения (1.19) эквивалентны.

Полученная информация говорит, что найден компромисс между увеличением средней арифметической торговли (HPR) и дисперсией HPR, и становится ясна причина, по которой система (1,9:1; 70%) работает лучше, чем система (28:1; 10%)!