Арбитражные соотношения для европейских опционов

Рассматриваются два рынка: спот-рынок некоторых активов и рынок опционов на эти активы.

Будем считать, что выполняются следующие условия:

• рынки являются совершенными;
• можно неограниченно брать ссуды или кредитовать под соответствующую (по срокам) безрисковую процентную ставку;
• отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

1. Если с и p – стоимости европейских опционов колл и пут соответственно на одни и те же активы с ценой исполнения Х при дате истечения Т, то имеет место паритет цен:

Зная цену европейского опциона колл (пут), паритет цен европейских опционов позволяет оценить стоимость аналогичного по всем параметрам европейского опциона пут (колл). Кроме того, если паритет цен европейских опционов не соблюдается, то должны существовать прибыльные арбитражные стратегии.

Пример. Цена 6-месячного опциона колл на акцию с ценой исполнения 30 долл. равна 2 долл. Текущая цена акции– 29 долл., дивиденды по акции в размере 0,5 долл. ожидаются через 2 и 5 месяцев. Оценим стоимость аналогичного опциона пут, если безрисковая процентная ставка (при непрерывном начислении) для всех сроков равна 10 %.

Если же рыночная цена европейского опциона пут окажется равной 2,10 долл., то прибыльную арбитражную стратегию можно построить следующим образом.

Так как рыночная цена опциона пут оказалась заниженной (2,10 долл. < 2,51 долл.), то этот опцион следует купить. Чтобы стратегия стала безрисковой, одновременно покупаются базисные активы и производится продажа опциона колл. Для финансирования этих операций необходимо взять ссуду в размере

на срок в 6 месяцев под безрисковую процентную ставку 10 %.

Данная стратегия, очевидно, является безрисковой и не требует начальных затрат от инвестора, а в момент исполнения опционов инвестором будет получена прибыль:

2. В любой момент времени t до даты истечения европейских опционов на активы с известными доходами должны соблюдаться следующие ограничения (1), (2):

Если не соблюдается одно из условий (1) или (2), то на рынке должны существовать прибыльные арбитражные стратегии.

Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью q неравенства (1) и (2) принимают вид:

3. Если с1, с2 (p1, p2) – стоимости европейских опционов колл (пут) на одни и те же активы с ценами исполнения X1, X2 (X1 < X2) при дате истечения Т, то

Важно отметить, что чем больше цена исполнения, тем меньше цена европейского опциона колл и тем больше цена европейского опциона пут.

4. Если даны три европейских опциона колл (пут) на одни и те же активы с ценами исполнения X1, X2 и X3 соответственно, причем

Данное утверждение позволяет сравнивать цены европейских опционов с разными ценами исполнения, но одинаковыми остальными характеристиками.